Pengertian Deret Aritmatika, Sejarah, Rumus dan Contoh Soalnya
Deret aritmatika termasuk ke dalam materi dasar yang terdapat di pelajaran matematika, guna memahami materi pelajaran ini harus menggunakan contoh soal. Karena nantinya akan ditemui materi barisan aritmatika yang saling berkaitan. Sederhananya barisan aritmatika adalah barisan bilangan dengan pola tertentu berupa penjumlahan dengan memiliki beda.
Atau selisih yang sama dan tetap, contoh barisan aritmatika di antaranya seperti 5, 10, 15, 20 dan dalam barisan ini setiap suku memiliki beda atau selisih yang sama yakni 5. Terdapat beberapa rumus yang bisa digunakan untuk menghitung suku ke-n, jumlah dan cara mencari beda (b) yang didapat dari suatu barisan aritmatika dan tentu harus melewati beberapa langkah terlebih dulu.
Deret Aritmatika
Barisan aritmatika adalah barisan bilangan sedemikian rupa hingga selisih antara suku-suku yang berurutan tetap. Kemudian yang dimaksud dengan deret aritmatika adalah jumlah keseluruhan dari suku-suku yang terdapat pada barisan dan deret aritmatika. Penjelasan ini mungkin belum bisa dipahami dengan benar bagi sebagian orang, karena itu pemahamannya harus dengan contoh.
4, 7, 10, 13, 16, 19, 22 … merupakan salah satu contoh barisan aritmatika, perhatikan setiap angka di dalam barisan. Karena angka yang didapatkan setelah penjumlahan dengan angka 3. Kemudian, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29 … setiap angka yang terdapat dalam barisan aritmatika ini merupakan hasil dari penjumlahan angka 4.
Kemudian contoh sederhana dari deret aritmatika seperti S91 = 4,7,10,13,16,19,22 =91, yang perlu diperhatikan dalam hal ini adalah proses menjumlahkan seluruh barisan aritmatika hingga bisa mendapatkan hasil. Setelah itu barulah bisa ditarik kesimpulan mengenai apa itu deret aritmatika dan bagaimana cara melakukan proses penjumlahannya.
Deret aritmatika memiliki dua proses atau cara pengerjaan yang sama, pembedanya hanyalah perlunya ditemukan angka atau variabel tertentu. Pembahasan mengenai hal ini bisa ditemukan ketika memahami rumus deret aritmatika beserta contoh soal dari deret aritmatika yang lainnya dan mudah dikerjakan.
Sejarah Deret Aritmatika
Hingga saat ini belum ada sumber yang pasti terkait siapa sosok yang pertama kali menemukan sistem deret aritmatika. Meski begitu beberapa sumber menyebutkan, Carl Friedrich Gauss yang merupakan seorang pakar matematika dan IPA yang berasal dari Jerman. Sosok inilah yang disebut-sebut pertama kali mencari tahu mengenai apa sebenarnya deret aritmatika itu.
Meski saat itu Carl masih duduk di bangku sekolah dasar, namun ia disebutkan mampu menemukan metode dalam menghitung jumlah bilangan bulat dari 1 hingga 100. Caranya dengan melakukan perkalian n/2 pasangan bilangan, kemudian dijumlahkan dengan nilai masing-masing pasangan n+1, meski begitu fakta tersebut belum bisa dibuktikan.
Karena masih ada sosok matematikawan lain yang terkenal menciptakan berbagai teori matematika hingga sebelum memasuki abad masehi. Termasuk Pythagoras dan Archimedes dari Yunani, kemudian Aryabhata dan Brahmagupta dari India hingga Zhang Quijian dari China. Meski begitu banyak metode yang ditemukan dalam pembahasan pelajaran matematika.
Rumus Deret Aritmatika
Perlu diketahui lebih dulu jika selayaknya jumlah materi matematika, deret aritmatika juga mempunyai variabel tersendiri yang perlu menjadi perhatian bagi siswa. Variabel yang ada berkaitan dengan barisan aritmatika dan terkadang perlu menemukan variabel tersebut sebelum bisa mengerjakan soal dari deret aritmatika yang ada. Beberapa variabel yang dimaksud adalah beda dan suku tengah.
Rumus Beda
b = Un – Un-1
keterangan
b = Beda
Un = Suku ke-sekian
Un-1 = Suku ke-sekian dikurangi 1
Beda yang dimaksud dalam hal ini atau deret aritmatika disimbolkan dengan b, dalam menemukan beda hanya perlu dilakukan pengurangan suku ke-sekian dalam baris aritmatika dengan suku lain yang letaknya berada sebelum suku ke-sekian.
Rumus Suku Tengah
Ut = (a + Un) / 2
Keterangan
Ut = Suku Tengah
a = Suku Awal
Un = Suku Akhir
Suku tengah dalam barisan aritmatika atau deret aritmatika disimbolkan memakai Ut. Kemudian untuk menemukan suku tengah, harus ditentukan lebih dahulu suku awal dan suku akhir yang terdapat di dalam baris aritmatika lalu membaginya dengan 2
Rumus Deret Aritmatika
Sn = ½ n (2a +(n-1)b)
KeteranganÂ
Sn = Deret Aritmatika
a = suku pertama
n = jumlah suku
b = beda
Deret aritmatika dalam rumus ini disimbolkan dengan Sn, sementara hal pertama yang harus dilakukan untuk bisa mencari deret aritmatika adalah mengalihkan setengah dengan jumlah suku (n) yang dapat ditemukan dalam barisan aritmatika itu sendiri. Menjumlahkan hasil dari penjumlahan di atas dengan variabel-variabel lain yang ditemukan di dalam kurung.
Ada beberapa penjumlahan yang harus dihitung lebih dulu, yakni mengalikan dua dengan suku pertama (a), kemudian ditambah dengan hasil dari jumlah suku yang sudah dikurangi 1 dan terakhir adalah dikalikan dengan beda (b). Kemudian ada beberapa rumus jumlah aritmatika yang bisa dipakai tergantung dari keperluan.
Untuk lebih mempermudah rumus-rumus yang ada tidak berbeda jauh dengan rumus deret aritmatika di atas. Selain itu penggunaan tidak sering ditemukan, rumus-rumus yang ada mudah untuk dicari kembali.Â
Contoh Soal Deret Aritmatika
Pembahasan mengenai rumus tak hanya akan berpengaruh apa-apa terhadap pemahaman siswa dalam matematika. Kepiawaian dalam memahami deret aritmatika juga harus diasah melalui pembahasan contoh soal deret aritmatika, pengujian rumus-rumus yang sebelumnya sudah dipelajari. Hal ini digunakan memastikan benar atau tidaknya rumus yang akan dipakai.
Contoh Soal Pertama
Sebuah deret aritmatika diketahui memiliki 8 jumlah suku, suku pertama dari deret aritmatika ini adalah 5. Sementara masing-masing suku mempunyai beda sebesar 4, menemukan deret aritmatika berdasarkan itu. Pahami dengan benar lebih dulu soal ini, mengetahui bahwa semua variabel bisa ditemukan dan selanjutnya hanya tinggal memasukan variabel-variabel ke dalam rumus.
Sn = ½n (2a + (n – 1) b)
Sn = ½ 8 ((2 x 5) + (8 – 1) 4)
Sn = 4 (10 + 28)
Sn = 142
Meski sudah diketahui jawabannya, namun ada kemungkinan adanya ketidakyakinan dengan jawaban tersebut. Hal ini bisa disiasati dengan menulis isi dari deret aritmatika dan memastikan jika jumlah dari deret aritmatika benar adanya seperti berikut S142 = 5,9,13,17,21,25,29,33 dengan begitu hasil di atas memperlihatkan perhitungan sudah tepat.
Soal Kedua
Sebuah deret aritmatika dengan 12 suku apabila dijumlahkan memiliki hasil akhir hingga 306, berapa beda yang ada pada deret aritmatika tersebut jika diketahui suku pertamanya adalah 9? Untuk mencari beda tidak perlu menggunakan rumus yang sudah diajarkan. Hal ini disebabkan karena tidak adanya suku-suku lain di dalam soal.
Perlu dibaca secara teliti terkait variabel mana saja yang sudah ditemukan di dalam soal, apabila kalian sudah menemukan variabelnya apa di dalam soal di atas. Yang perlu dilakukan adalah memasukkan ke dalam rumus yang sudah dipelajari sebelumnya, berikut pembahasannya menjawab soal di atas.
Sn = ½n (2a + (n – 1) b)
306 = ½ 12 ((2 x 9) + (12 – 1) b)
306 = 6 (18 + 11b)
306 = 108 + 66b
306 – 108 = 66b
198 = 66b
198 ÷ 66 = b
3 = b
Barisan dan Deret Aritmatika dalam Kehidupan
Meski berupa perhitungan dan penjumlahan, barisan dan deret aritmatika ternyata memiliki kegunaan dalam kehidupan sehari-hari. Contoh yang paling mudahnya adalah ketika ingin menghitung nilai tabungan yang ada di bank. Berapa pun nominal yang ditabung, kemudian dalam waktu tertentu hanya tinggal melakukan penjumlahan terhadap nilai tabungan tersebut.
Demikian penjelasan mengenai deret aritmatika, mulai dari pengertian, sejarah singkat, rumus hingga contoh soal dan penggunaannya di dalam kehidupan sehari-hari. Sampoerna Academy menerapkan sistem pembelajaran dengan praktek langsung di dalam kelas, termasuk pembahasan deret aritmatika tepat setelah memahami materi yang diberikan.
Para siswa akan mempraktekkan pembahasan soal di kelas guna mendapat pemahaman lebih mendalam mengenai materi pelajaran ini. Dengan begitu, Sampoerna Academy akan memastikan para siswa akan mampu mengontrol diri sendiri dalam melaksanakan tanggung jawab. Sekaligus menumbuhkan mental, kreativitas hingga kolaborasi lewat kerja kelompok yang dilakukan di dalam kelas.