Dalam Ilmu Matematika ada sebuah metode bernama program linear yang berkaitan dengan optimasi nilai maksimum dan minimum. Di Sampoerna Academy, materi ini disampaikan di SMA khususnya pada pembahasan program linear kelas 11. Penyampaian materi yang lebih dalam dengan metode STEAM (Sains, Teknologi, Engineering, Arts dan Matematika) membuat para siswa-siswi tidak hanya mengerti secara materi, namun juga secara praktek yang dijalankan.
Teman-teman dapat melihat hasil penelitian atau project dari para siswa-siswi Sampoerna Academy melalui website steamindonesia.id.
Persamaan Linear
Sebelum masuk ke program linear, penting terlebih dahulu mengetahui tentang persamaan linear. Persamaan linear adalah sebuah persamaan yang menghasilkan garis lurus. Rumusnya:
y = mx + c
dengan,
x = variabel
c = konstanta
m = gradien
atau
ax + by + c = 0
Persamaan linear biasa juga disebut persamaan garis lurus, yaitu perbandingan nilai koordinat pada sumbu X dan sumbu Y yang terletak dalam satu garis.
Pertidaksamaan Linear
Berbeda dengan persamaan linear, pertidaksamaan linear tidak menggunakan tanda sama dengan (=) dalam persamaannya. Akan tetapi, dalam persamaan ini menggunakan tanda kurang dari (<), lebih dari (>), kurang dari atau sama dengan (≤), dan lebih dari atau sama dengan (≥).
Lalu apa sebenarnya program linear?
Pengertian Program Linear
Dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI), program berarti urutan perintah yang diberikan pada komputer untuk membuat fungsi atau tugas tertentu. Sedangkan linear berarti berbentuk garis.
Jadi, program linear adalah metode yang digunakan untuk mendapatkan hasil optimal dari suatu model matematika yang disusun dari hubungan linear. Program linear merupakan kasus khusus dalam pemrograman matematika alias optimisasi matematika.
Bisa dibilang, program linier merupakan teknik optimasi untuk fungsi objektif linear, dengan masalah berupa persamaan linear dan pertidaksamaan linear. Program linear berbentuk model, terdiri dari pertidaksamaan linear, merupakan salah satu metode untuk memecahkan berbagai masalah dalam kehidupan sehari-hari.
Program linear bertujuan untuk menentukan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Nilai optimum ini bisa nilai maksimal atau minimum, dan didapatkan dari nilai dalam suatu himpunan penyelesaian persoalan linear.
Program linear memiliki beberapa karakteristik, seperti bisa mengatasi permasalahan dengan kendala-kendalanya dalam bentuk pertidaksamaan. Lalu juga bisa mengatasi jumlah kendala yang banyak. Terakhir, program linear terbatas pada fungsi objektif dan kendala linear.
Baca juga: Pengertian Eksponen, Persamaan, dan Sifat-sifatnya
Bagian Program Linear
Program linear terdiri dari dua bagian: fungsi objektif atau fungsi tujuan dan fungsi kendala. Fungsi objektif merupakan fungsi yang nilainya akan dioptimalkan, bisa bernilai maksimum atau bisa juga bernilai minimum, tergantung dari kasusnya.
Fungsi tujuan memiliki bentuk umum:
f(x, y) = px + qy
dengan p dan q adalah konstanta.
Sedangkan fungsi kendala merupakan batasan yang wajib dipenuhi oleh peubah dalam fungsi objektif.
Bentuk umum fungsi kendala:
ax + by ≤ m atau ax + by ≥ m
cx + dy ≤ n atau cx + dy ≥ n
x ≥ 0 ; y ≥ o atau x ≥ 0 ; y ≥ o
Model Matematika Program Linear
Model matematika dalam program linear sangat penting artinya, untuk memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Hal ini karena masalah-masalah tersebut harus diterjemahkan dulu ke dalam notasi matematika, sebelum diselesaikan dengan program linear.
Jika model sudah didapatkan dengan benar, baru bisa dilakukan analisis sensitivitas pada program linear tersebut. Untuk menuliskan permasalahan sehari-hari ke dalam model matematika, bisa dilakukan dengan langkah-langkah berikut ini:
- Tulis ketentuan-ketentuan yang sudah ada ke dalam sebuah tabel.
- Buat permisalan, ini berlaku untuk objek-objek yang belum diketahui dalam bentuk variabel x dan y.
- Buat sistem pertidaksamaan linear, didapatkan dari hal-hal yang diketahui.
- Tentukan fungsi objektif yang ingin dicapai.
- Selesaikan model matematika untuk mendapat nilai optimum dari fungsi objektif.
Penjelasan ini bisa lebih jelas usai menyimak soal program linear berikut ini.
Contoh Soal Program Linear
Berikut ini adalah beberapa contoh soal program linear yang kerap muncul dalam ujian sekolah maupun masuk perguruan tinggi:
- Seorang penjual buah punya modal Rp1 juta untuk membeli apel dan pisang. Harga beli tiap kg apel adalah Rp4 ribu dan pisang Rp1,6 ribu. Maksimal, pedagang tersebut hanya bisa menampung 400 kg buah. Berapa jumlah apel dan pisang yang harus dibeli agar keuntungan bisa maksimal?
Jawaban:
Untuk menyelesaikan masalah ini, perlu membuat model matematika terlebih dahulu dari permasalahan tersebut.
Misal,
apel = x = 4.000
pisang = y = 1.600
syarat:
Kapasitas tempat = x + y ≤ 400 = 2x + 2y ≤ 800
Modal = 4000x + 1600 y ≤ 1.000.000 = 5x + 2y ≤ 1.250
x > 0
y > 0
Lakukan metode eliminasi pada dua persamaan yang sudah diketahui:
5x + 2y ≤ 1250
2x + 2y ≤ 800
3x ≤ 450
x ≤ 150
Setelah diketahui x, bisa dicari nilai y:
2x + 2y ≤ 800
300 + 2y ≤ 800
2y ≤ 500
y ≤ 250
Dari penyelesaian tersebut, diketahui bahwa untuk keuntungan maksimal, pedagang buah tersebut harus membeli apel sebanyak 150kg dan pisang 250kg.
- Penjahit pekaian punya kain sutera 16m, kain katun 15m, dan kain wool 11, dan akan membuat dua model pakaian. Model A butuh 2m sutera, 1m wool, dan 1m katun, sedangkan model B perlu 1m sutera, 2m wool, dan 3m katun.
Keuntungan dari model A adalah Rp3 ribu per potong, sedangkan model B Rp5 ribu per pakaian. Berapa pakaian masing-masing model yang harus dibuat agar keuntungan maksimal?
Jawaban:
Untuk mencari jawaban, lebih dulu perlu menjadikan permasalahan ini menjadi model matematika. Dengan ini merupakan optimasi keuntungan, bisa ditulis:
f(x, y) = 3000x + 5000y
Sedangkan kendala dalam masalah ini, misal model A adalah x dan model B adalah y, dengan memperhatikan jumlah kain yang tersedia:
Sutera: 2x + y ≤ 16
Wool: x + 2y ≤ 11
Katun: x + 3y ≤ 15
Dari penggambaran garis-garis ini, diperoleh empat titik ekstrim, yaitu (8, 0), (7, 2), (3, 4), dan (0,5).
Dari sini, bisa dilakukan uji coba kepada fungsi objektifnya untuk diketahui mana yang menghasilkan keuntungan maksimal:
f(A) = f(8, 0) = 3.000(8) + 5.000(0) = 24.000
f(B) = f(7, 2) = 3.000(7) + 5.000(2) = 31.000
f(C) = f(3, 4) = 3.000(3) + 5.000(4) = 29.000
f(D) = f(0, 5) = 3.000(0) + 5.000(5) = 25.000
Jadi, dari penyelesaian tersebut diketahui keuntungan maksimal adalah 31 ribu, didapat dari titik (7, 2). Artinya, keuntungan maksimum akan didapat dengan membuat 7 baju model A dan 2 baju model B.
Demikian penjelasan lengkap soal pengertian, model, dan contoh soal program linear. Untuk memahami lebih dalam, pembelajaran tidak hanya teori saja. Hal ini tentu membutuhkan praktik agar makin memahami materi yang diberikan. Di Sampoerna Academy, pembelajaran dengan praktik juga diterapkan.
Dengan begitu, siswa bisa makin paham dengan materi yang diajarkan. Selain itu, siswa juga akan lebih bisa menerapkan dan memanfaatkan materi yang diberikan di kehidupan sehari-hari.
