Turunan Fungsi Aljabar, Rumus, Aplikasi dan Contoh Soal

Menjadi salah satu ilmu pengetahuan yang dipelajari dan banyak ditemui di Sekolah Menengah Atas (SMA) maupun Sekolah Menengah Kejuruan (SMK), turunan fungsi aljabar termasuk dalam materi yang kaitannya erat dengan limit fungsi dan kemiringan garis atau juga disebut dengan gradien. Turunan sebenarnya dipakai dalam memperlihatkan dan menunjukkan adanya perubahan.

Terhadap garis kemiringan atau gradien yang diakibatkan oleh adanya perubahan nilai, perlu diketahui dengan cermat bahwa turunan fungsi pada suatu titik merupakan gradien yang berupa garis singgung pada fungsi di titik tersebut. Mungkin terdengar sangat membingungkan, karena itu materi pelajaran yang satu ini perlu dipahami dengan benar-benar cermat dan teliti.

Pengertian Turunan Fungsi Aljabar

Jika dipahami dengan cermat, penerapan dari konsep turunan fungsi aljabar sangat erat dengan kehidupan sehari-hari manusia. Seperti saat menyaksikan televisi dan penggunaan kalkulator aljabar, ini menjadi salah satu dari hasil penerapan turunan fungsi aljabar dalam kehidupan. Tentu sangat mengherankan, lantas apa itu yang dimaksud dengan turunan fungsi aljabar.

Turunan fungsi juga disebut dengan diferensial merupakan fungsi lain dari suatu fungsi yang muncul atau ada sebelumnya. Seperti fungsi f yang dijadikan f’ dengan kekuatan nilai tidak menggunakan aturan dan hasil dari fungsi tidak berubah, disesuaikan dengan variabel yang sudah dimasukkan dan juga bisa secara umum suatu besaran berubah karena perubahan besar lainnya.

Pada umumnya turunan fungsi mempunyai pengertian sebagai pengukuran yang hasil dari fungsi berubah sesuai dengan variabel yang dimasukkan. Sederhananya suatu besaran yang berubah mengikuti perubahan besaran lainnya. Sementara itu proses yang digunakan atau diterapkan untuk menemukan suatu turunan disebut dengan diferensiasi.

Baca juga: Trigonometri, Perbandingan, Identitas Hingga Rumusnya

Turunan merupakan pengukuran terkait bagaimana sebuah fungsi bisa berubah karena adanya perubahan pada nilai yang dimasukkan, menunjukkan suatu besaran berubah karena perubahan pada besaran lain. Fungsi dari turunan bentuk aljabar adalah dari yang sering dijumpai untuk menghitung garis singgung pada kurva atau fungsi dan kecepatan.

Garis pada grafik memiliki gradien tertentu yang didasarkan pada letak absis atau koordinat x dan ordinat atau juga disebut dengan koordinat y. Yang mana masing-masing titik, apabila kedua titik digeser saling mendekat satu sama lain maka jarak antartitik juga mendekati nol sehingga kemiringan dari grafik melalui garis akan berubah.

Di awal garis akan memotong kurva pada dua titik, kemudian berubah menjadi garis singgung yang terlihat menyinggung kurva pada satu titik saja. Hal ini dikarenakan antartitik sudah mendekati nol, kemudian besaran bisa diketahui lewat konsep limit fungsi aljabar yang menerapkan rumus aljabar sebagai berikut ini.

Rumus Turunan Fungsi Aljabar

• Turunan Fungsi Pangkat

Terdapat pula rumus turunan fungsi pangkat, dalam hal ini muncul apabila ditemukan soal fungsi pangkat. Karena itu digunakan pula rumus berbeda agar proses mencari turunan bisa lebih mudah dilakukan, sehingga tak perlu repot menebak-nebak atau bingung mencari solusi dalam pemecahan ini, berikut rumusnya.

n = angkat pangkat

a = konstan

• Turunan Fungsi Komposisi

Adapun rumus tertentu yang dipakai terkait dengan aturan rantai yang dipakai dalam mencari turunan fungsi komposisi. Dalam hal ini terdapat dua rumus yang bisa diterapkan dan dipakai, baik rumus pertama maupun rumus turunan. Bentuk fungsi dari pemecahan ini adalah h (x) = f (g(x)) dan rumus turunannya adalah h’(x) = f’ (g(x)).

• Turunan Hasil Kali Fungsi

Rumus fungsi turunan pada operasi perkalian juga menggunakan rumus berbeda dan diterapkan hanya pada soal fungsi yang berupa perkalian dengan bentuk f(x) = u (x) . v (x). Bentuk soal seperti ini bisa dicari dengan menggunakan rumus sebagai berikut.

• Turunan Fungsi Pembagian

Rumus turunan fungsi pada operasi pembagian memiliki rumus tersendiri dalam mencari nilainya, bentuknya menggunakan f (x) : v (x). Untuk mencari nilai pada soal yang menyertakan pembagian seperti ini, digunakan rumus sebagai berikut.

• Turunan Pangkat dari Fungsi

Untuk mencari turunan pangkat dari fungsi memerlukan cara tersendiri, menggunakan rumus dari turunan pangkat dari fungsi yang berbentuk f (x) = (u(x))2 sehingga turunan dari rumus ini menjadi berupa f’ (x) = n. un-1. u1. Rumus ini biasa digunakan untuk mencari fungsi dari bagian sebelumnya belum menjadi turunan.

Turunan Trigonometri

Aplikasi Turunan Fungsi Aljabar

Bagian yang harus dipelajari selanjutnya mengenai turunan fungsi aljabar adalah konsep digunakannya aplikasi fungsi aljabar. Diperlihatkan dengan beberapa contoh, seperti turunan aljabar yang di setiap aplikasinya memiliki masing-masing konsep. Hal ini perlu dipahami dengan benar, berikut aplikasi turunan aljabar.

• Penentuan gradien garis singgung terhadap suatu kurva atau grafik. Gradien garis singgung disimbolkan (m), pada suatu kurva (y) = f (x) yang rumusnya M = y’ = f’ (x).
• Penentuan interval dari fungsi yang naik dan fungsi yang turun, fungsi naik memiliki syarat berupa f’(x) > 0 dan syarat fungsi turun berupa f’(x) < 0.

Penentuan terhadap fungsi y = f (x) kontinu dan diferensiabel pada x = a dan f’ (x) = 0 sehingga fungsi mempunyai sebuah stasioner pada x = a. Nilai stasioner pada fungsi y = f (x) didapat berupa nilai balik minimum, maksimum dan nilai belok. Untuk menentukan jenis nilai stasioner bisa memakai beberapa turunan kedua fungsi yang berupa.

Selesaikan soal mengenai limit tak tentu, apabila limit tak tentu bentuknya 0/0 sehingga penyelesainnya bisa memakai turunan f’ (x) dan g (x) di masing-masing turunan. Apabila turunan pertama mampu menghasilkan bentuk tertentu, jadi bentuk tersebut yang menjadi penyelesaiannya, namun jika turunan pertama masih bentuk tak tentu, f (x) dan g (x) harus diturunkan lagi.

Contoh Soal Fungsi Aljabar

Tentukan turunan pertama dari contoh soal limit fungsi aljabar berikut ini.

1. f (x) = 2
2. f (x) = 3x
3. f (x) = x2

Penyelesaian

1. Turunan fungsi pada suatu titik merupakan gradien garis singgung dari fungsi itu, pertama cari turunan fungsi f (x) = 2, pastikan sudah digambar bentuk grafiknya agar mempermudah,  fungsi f (x) termasuk fungsi konstan. Akibatnya garis sejajar dengan sumbu x pada titik x = 2. Sehingga garisnya datar, karena grafik fungsi juga datar, garis fungsi f (x) = 2 adalah nol.Karena garis singgung fungsi f (x) = 2 tidak memiliki kemiringan atau nilai gradiennya sama dengan nol. 
2. Ingat persamaan y = mx + c yang artinya gradien persamaan linear merupakan koefisien variabel x, dalam hal ini m. Sehingga f (x) = 3x termasuk persamaan linear, sehingga gradien garis koefisiennya x = 3, turunan fungsi f (x) = 3x  adalah 3.
3. g (x) = x2 merupakan fungsi kuadrat, bentuk grafik atau kurvanya melengkung ke atas sehingga garis singgung terlihat berbeda dengan yang lain, jika f (x) = x2 maka f (x+h) = (x+h)2 sehingga jawabannya adalah sebagai berikut:
   

Demikian penjelasan mengenai turunan fungsi aljabar, termasuk di dalamnya rumus macam turunan, aplikasi turunan hingga contoh soal turunan fungsi aljabar. Diharapkan para siswa mampu mencerna materi ini dengan baik, Sampoerna Academy tidak hanya memberikan pelajaran berupa materi di dalam kelas tetapi juga praktek atau uji coba.

Sampoerna Academy memastikan para siswa mulai dari tingkat paling dasar hingga perguruan tinggi mendapatkan mutu dan kualitas pendidikan terbaik. Sampoerna Academy menerapkan kurikulum berstandar internasional, dibekali dengan tenaga pengajar berkualitas dan fasilitas menggunakan teknologi canggih di setiap mata pelajarannya.

Referensi
Medcom.id – Turunan fungsi aljabar