Menara Pisa di Italia menjadi salah satu mahakarya yang bisa membuat orang berpikir keras, pasalnya posisi menara yang miring namun tidak terjatuh. Tentu Hal ini tak lepas dari konstruksi bangunan yang memang pada awalnya dibuat miring, dalam mengukur sudut kemiringan itulah digunakan aturan sinus dan cosinus.
Mengingat menara Pisa tidak didesain menggunakan bangunan yang miring, melainkan karena adanya struktur tanah yang rentan sehingga membuat menara otomatis menjadi miring. Berbicara mengenai kemiringan ini sangat berkaitan dari besaran yang dinamakan sudut. Sementara pengukuran sudut menggunakan trigonometri tentu memakai sinus, cosinus dan tangen.
Aturan Sinus
Yang dimaksud dengan aturan sinus adalah perbandingan yang ada antara setiap sisi dan sudut di depan sisi dengan nilai yang sama. Penggunaan aturan sinus berlaku pada segitiga, termasuk segitiga siku-siku hingga segitiga sembarang. Aturan sinus bisa dipakai pada dua pasang sudut sisi yang saling berhadapan, di mana salah satunya belum diketahui, lihat gambar di bawah ini.
Keterangan
- A = besar sudut di hadapan sisi a
- a = panjang sisi a
- B = besar sudut di hadapan sisi b
- b = panjang sisi b
- C = besar sudut di hadapan sisi c
- c = panjang sisi c
- AP ┴ BC
- BQ ┴ AC
- CR ┴ AB
Perhatikan segitiga ACR
Sin A = CR/b maka CR = b sin A …(1)
Perhatikan segitiga BCR
Sin B = CR/a maka CR = a sin B …. (2)
Perhatikan segitiga ABP
Sin B = AP/c maka AP = c sin B … (3)
Perhatikan segitiga APC
Sin C = AP/b maka AP = b sin C …(4)
Jika dilihat dari persamaan (1) dan (2), maka akan didapat CR = b sin A = a sin B maka a/sin A = b/sin B …(5). Sementara jika dilihat dari persamaan (3) dan (4), maka akan didapat AP = c sin B = b sin C maka b/sin B = c/sin C …(6). Untuk persamaan (5) dan (6) nantinya akan diperoleh sebuah persamaan seperti berikut a/sin A = b/sin B = c/sin C yang nantinya diatur dengan aturan sinus.
Contoh Soal 1
Contoh soal aturan sinus yang pertama, Alexandra tengah mengukur mainan segitiga dengan setiap sudutnya memakai simbol A, B dan C. Kemudian diketahui segitiga itu memiliki sudut A = 30 derajat, sisi a = 6cm dan sisi b = 8cm. Pertanyaannya, hitung besar sudut B!
Pembahasan
sin B = (b sin A)/a
sin B = 8/6 sin 30̊
sin B = 2/3
B = arc sin B
B = arc sin (2/3)
B = 41,8̊
Jadi, besar sudut B adalah 41,8̊ atau 180̊ – 41,8̊ = 138,2̊
CR = b sin A = a sin B maka a/sin A = b/sin B …(5)
Contoh Soal
Terdapat sebuah segitiga ABC dengan diketahui panjang AC = 4cm. Sementara jika besar ∠ ABC = 60o dan ∠BAC = 30o, maka berapakah panjang sudut BC? Jelaskan dengan menggunakan rumus aturan sinus.
Pembahasan
AC/sin ∠ABC = BC/sin∠BAC
4cm/sin 60 = BC/sin30
4cm/½√3 = BC/½
BC = ½ × 4cm/½√3
BC = 4cm/√3
BC = 4/3 √3 cm
Sehingga jawaban untuk berapakah panjang BC adalah BC4/3 √3cm.
Contoh Soal
Kembali ke Menara Pisa tadi, dibangun dengan tinggi 56 meter dan ternyata tanah tempat berdirinya menara ini rentan mengalami kerapuhan. Kondisi yang menyebabkan menara tersebut miring, diketahui pada jarak 44 meter dari dasar menara diperoleh sudut elevasi sebanyak 55 derajat. Tentukan derajat kemiringan menara dari posisi awalnya.
Pembahasan
Aturan sinus menjelaskan adanya hubungan antara perbandingan panjang sisi yang berhadapan dengan sudut terhadap sinus sudut dalam suatu segitiga. Atas dasar aturan sinus, dalam segitiga ABC adanya perbandingan panjang sisi dengan sinus sudut yang berhadapan dengan sisi segitiga diketahui memiliki nilai yang sama contoh soal aturan sinus dan cosinus beserta jawabannya.
Aturan Kosinus
Aturan kosinus adalah hubungan yang terjadi antara panjang sisi segitiga dan nilai kosinus dari salah satu sudut yang terdapat di dalam segitiga tersebut. Perlu diketahui dalam mencari persamaan yang berlaku pada aturan kosinus bisa dipahami dengan lebih jelas menggunakan gambar di bawah ini beserta dengan keterangannya aturan sinus dan cosinus.
Keterangan
A = besar sudut di hadapan sisi a
a = panjang sisi a
B = besar sudut di hadapan sisi b
b = panjang sisi b
C = besar sudut di hadapan sisi c
c = panjang sisi c
AP ┴ BC
BQ ┴ AC
CR ┴ AB
Perhatikan segitiga BCR
Sin B = CR/a maka CR = a sin B
Cos B = BR/a maka BR = a cos B
AR = AB – BR = c – a cos B
Perhatikan segitiga ACR
b2 = AR2 + CR2
b2 = (c – a cos B)2 + (a sin B)2
b2 = c2 – 2ac cos B + a2 cos2 B + a2 sin2 B
b2 = c2 – 2ac cos B + a2 (cos2 B + sin2 B)
b2 = c2 + a2– 2ac cos B
Jika memakai analogi yang sama, maka akan diperoleh aturan cosinus untuk segitiga ABC sebagai berikut
a2 = c2 + b2– 2bc cos A
b2 = a2+ c2 – 2ac cos B
c2 = a2+ b2 – 2ab cos C
Contoh Soal 2
Sebuah segitiga ABC diketahui memiliki sisi dengan panjang a = 10 cm, c = 12 cm dan besar sudut yang mencapai B = 60. Soal yang harus dijawab dan dijelaskan menggunakan aturan kosinus yang sudah dijelaskan sebelumnya, disinilah keterkaitan aturan cosinus dan luas segitiga.
Pembahasan
b2 = a2+ c2 – 2ac cos B
b2 = 100+144 – 44 cos 60̊
b2 = 244 – 44(0,5)
b2 = 244 – 22
b2 = 222
b = 14,8997
Sehingga diketahui panjang sisi b adalah 14,8997 cm.
Luas Segitiga
Biasanya sebelum memahami terkait luas segitiga, pastinya lebih dulu diketahui bagaimana cara mencari tahu luas segitiga siku-siku, segitiga sama kaki atau sama sisi. Lantas, bagaimana untuk mencari tahu luas segitiga dengan bentuk sembarangan atau panjang sisi-sisinya tidak sama. Aturan sinus bisa dimanfaatkan untuk mencari luas segitiga sembarang, berikut penjelasannya.
Dimisalkan adanya segitiga sembarang ABC, dapat diketahui bahwa adanya luas segitiga di segitiga sembarang ABC dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan, L = ½ x AB x CD dan L = ½ x c x h … (1). Kemudian pada segitiga ADC berlaku sin A = h/b = b sin A … (2). Lalu substitusikan nilai h pada persamaan (2) ke persamaan (1) dapat diperoleh L = ½ x c x b sin A.
Contoh Soal 3
Sebuah ruang tamu memiliki ukuran 15 kaki x 25 kaki dengan bentuk seperti balok terbuka dengan atap yang membentuk sebuah segitiga pada sisi kanan dan kiri. Yang menjadi persoalan, apabila dua bagian dari atas membentuk sudut 30 derajat dan 33 derajat pada bidang datar, tentukan luas yang terdapat pada segitiga yang terbentuk.
Pembahasan
Besar sudut C bisa dirumuskan dengan C = 180 derajat – (33 derajat + 50 derajat), C = 97 derajat dan berdasarkan aturan sinus diperoleh penjabaran seperti berikut.
c/sinC = b/sinB
15/sin97 = b/sin50 derajat
b = 15 x sin 50 derajat/sin 97 derajat
b = 12 kaki.
Luas segitiga yang terbentuk
L = ½ x c x b sin A
½ x 12 x 15 sin 33 derajat = 49 kaki.
Demikian pembahasan mengenai aturan sinus dan cosinus, mulai dari pengertian, rumus aturan sinus hingga contoh soal. Sampoerna Academy menerapkan sistem pembelajaran tak hanya pemahaman materi tetapi juga praktek di dalam kelas. Mulai dari tingkat dasar hingga tingkat teratas Sampoerna Academy.
Sampoerna Academy membantu para siswa dan siswi dalam menemukan motivasi terhadap ekspolrasi, kreativitas hingga tanggung jawab pribadi dalam diri. Sistem pembelajaran yang difasilitasi secara lengkap, Sampoerna Academy memiliki para tenaga pengajar dan guru yang bersertifikasi internasional dan profesional dalam melahirkan lulusan terbaik.
Untuk informasi lebih lanjut terkait pendaftaran, kurikulum, kunjungan, dan informasi seputar Sampoerna Academy silakan mengisi data di bawah ini.
[formidable id=7]
Referensi:
Wikipedia
