Gradien: Arti, Sifat, Rumus, dan Contoh Soal

access_timeSeptember 11, 2022
perm_identity Posted by
folder_open Artikel, Sekolah Menengah Atas
gradien

Dalam Ilmu Matematika, pembahasan soal gradien merupakan salah satu pembahasan penting soal garis lurus. Lalu apa pengertiannya, bagaimana cara mencarinya, dan bagaimana rumusnya? Simak selengkapnya soal cara menentukan gradien berikut ini!

Pengertian 

Dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI), gradien adalah kecepatan perubahan suatu variabel dengan mengikuti koordinat ruang. Secara lebih sederhana, gradien merupakan angka yang menyatakan tingkat kemiringan suatu garis, semakin miring semakin besar pula gradiennya.

Gradien biasa dinotasikan sebagai m, dan merupakan bagian dari materi persamaan garis lurus dalam matematika.

Persamaan Garis Lurus

gradien

Persamaan garis lurus merupakan perbandingan nilai koordinat pada sumbu X dan sumbu Y yang terletak dalam satu garis.

Bentuk umum dari persamaan garis lurus:

y = mx + c

dengan,

x = variabel

c = konstanta

m = gradien

Jadi, jika ada contoh persamaan garis y = 2x + 4, gradien dari garis tersebut adalah 2.

Sifat dari Dua Garis Lurus

Sifat dua garis lurus bisa saling sejajar atau tegak lurus, hal ini bisa membantu untuk menentukan gradien dari kedua garis tersebut. Untuk dua garis yang sejajar, misal garis A dan B, maka gradien kedua garis tersebut akan selalu sama, atau bisa dituliskan:

mA = mB

Sedangkan untuk dua garis yang tegak lurus, gradien kedua garis tersebut jika dikalikan akan menghasilkan angka -1, atau bisa dituliskan:

mA x mB = -1

Karakteristik Gradien

Ada beberapa karakteristik yang dimiliki oleh gradien, yaitu:

  1. Jika garis miring ke kanan atas atau ke kiri bawah, nilai gradiennya positif.
  2. Jika garis miring ke kiri atas atau kanan bawah, nilai gradiennya negatif.
  3. Garis datar tak memiliki nilai gradien atau nol.

Baca juga: Deret Geometri Tak Hingga: Arti, Jenis, Rumus, dan Contoh Soal

Rumus Gradien

gradien

Untuk menentukan nilai kemiringan garis alias gradien bisa dilakukan dengan membagi panjang komponen y pada garis dengan panjang komponen x pada garis. Berikut ini penjelasan cara mencari rumus gradien garis dalam beberapa kasus:

  • Garis Lurus yang Melalui Dua Titik

Jika dalam garis a, melalui titik A (x1, y1) dan B (x2, y2), maka untuk menentukan gradien bisa terlebih dahulu dicari panjang komponen x dan y.

Panjang komponen x = x2 – x1

Panjang komponen y = y2 – y1

Artinya,

m = (y2 – y1) / (x2 – x1)

dengan,

m = gradien

  • Garis yang Saling Sejajar

Jika ada garis yang saling sejajar, maka gradien dari garis-garis tersebut akan selalu sama.

Jika A dan B adalah dua garis yang saling sejajar, maka rumus gradiennya adalah:

mA = mB

dengan,

mA = gradien garis A

mB = gradien garis B

  • Garis yang Saling Tegak Lurus

Jika ada dua garis yang saling tegak lurus, hasil perkalian dua gradien akan menghasilkan nilai  -1.

JIka garis A dan B saling tegak lurus, maka:

mA x mB = -1

dengan,

mA = gradien garis A

mB = gradien garis B

Contoh Soal

Berikut ini adalah beberapa contoh soal mengenai gradien:

  1. Garis ab memiliki persamaan 5y + 3x + 7 = 0. Tentukan angka kemiringan dari garis tersebut!

Jawaban:

Untuk mengetahui angka kemiringan dari garis tersebut, perlu mengubah persamaan tersebut ke bentuk persamaan garis lurus, y = mx + c.

5y + 3x + 7 = 0

5y = -3x – 7

y = – (3/5)x – (7/5)

Bentuk tersebut sudah merupakan bentuk y = mx + c, artinya kini kita sudah bisa mengetahui nilai m alias angka kemiringan. Jadi, gradien garis ab adalah -3/5.

  1. Sebuah garis a sejajar sumbu x dan melewati dua titik, A (2,1) dan B(6,1). Berapa angka kemiringan dari garis tersebut?

Jawaban:

Sumbu x memiliki angka kemiringan 0 karena meruoakan garis mendatar. Artinya garis yang sejajar dengan sumbu x akan selalu memiliki angka kemiringan 0. Hal ini bisa kita buktikan dengan dua rumus:

mA = mB

0 = 0

atau

m = (y2 – y1)/(x2 – x1)

m = (1 – 1)/(6 – 2)

m = 0/4 = 0

Jadi, angka kemiringan dari garis tersebut adalah 0.

  1. Berapa angka kemiringan dari garis yang melewati titik A(-2,3) dan B(-1,5)?

Jawaban:

Angka kemiringan dari garis tersebut bisa didapatkan dengan menggunakan rumus gradien.

m = (y2 – y1) / (x2 – x1)

m = (5-3) / (-1-(-2))

m = 2/1

m = 2

Jadi, angka kemiringan dari garis tersebut adalah 2.

  1. Garis a melewati titik (4,3). Garis a sejajar dengan garis b yang punya persamaan y = 3x – 1. Berapa gradien garis a?

Jawaban:

Dalam soal ini, titik yang dilewati garis a tidak diperlukan untuk menyelesaikan soal. Garis a sejajar garis b, yang artinya angka kemiringan kedua garis tersebut sama. Sedangkan angka kemiringan dari garis b sudah diketahui dari y = mx + c.

garis b:

y = 3x – 1

artinya, angka kemiringan dari garis b alias mB adalah 3. Dari sini bisa diketahui angka kemiringan dari garis a.

mA = mB

mA = 3

Jadi, angka kemiringan dari garis a adalah 3.

  1. Garis p punya persamaan 2x + 4y – 3 = 0, sedangkan garis q punya persamaan 2x – y + 5 = 0. Apa hubungan garis p dan q?

Jawaban:

Untuk mencari tahu hubungan kedua garis tersebut, bisa dicari tahu dulu angka kemiringan masing-masing garis dengan mengubah persamaan ke bentuk y = mx + c.

Garis p:

2x + 4y – 3 = 0

4y = -2x + 3

y = -(2/4)x + (3/4)

y = – (1/2)x + (3/4)

Jadi, angka kemiringan dari garis p adalah -(1/2)

Garis q:

2x – y + 5 = 0

y = 2x + 5

Jadi, angka kemiringan dari garis q adalah 2.

Karena angka kemiringan keduanya tak sama, maka hubungan keduanya bukan sejajar. Setelah itu, bisa dicoba dengan mengalikan kedua angka kemiringan.

mP x mQ = -(1/2) x 2 = -1

Karena perkalian kedua angka kemiringan menghasilkan nilai -1, maka bisa diketahui bahwa hubungan garis p dan q adalah saling tegak lurus.

Demikian penjelasan lengkap tentang arti, karakteristik, rumus, dan contoh soal gradien. Materi mengenai angka kemiringan akan dibahas lebih dalam di mata pelajaran matematika. Di Sampoerna Academy, mata pelajaran matematika menjadi salah satu fokus utama. Ini dikarenakan dengan adanya kurikulum internasional dengan metode STEAM atau Science, Technology, Engineering, Art, and Math. 

Metode pengajaran ini merupakan metode yang diterapkan di dunia pendidikan internasional. Dengan begitu, lulusan dari Sampoerna Academy akan menjadi lulusan yang siap dengan tantangan yang dihadapi di dunia saat ini.

Untuk informasi lebih lanjut terkait pendaftaran, kurikulum, kunjungan, dan informasi seputar Sampoerna Academy silakan mengisi data di bawah ini.

Article Form

Referensi

Zenius