Persamaan Trigonometri: Sin, Cos, Tangen, & Contoh Soal
Di dalam ilmu matematika, terdapat banyak sekali persamaan-persamaan alias rumus. Salah satu yang paling sering didengar adalah persamaan trigonometri. Persamaan ini umumnya akan diajarkan pada kelas 11. Biasanya, persamaan trigonometri kelas 11 yang akan dibahas adalah persamaan dasar.
Artikel ini akan membahas lebih lanjut mengenai persamaan trigonometri dasar beserta dengan contoh soalnya.
Pengertian Persamaan Trigonometri
Persamaan trigonometri adalah persamaan matematika yang memuat fungsi trigonometri dari sudut yang belum diketahui nilainya. Persamaan ini mirip persamaan linear atau kuadrat. Yang membedakan antara trigonometri dengan yang lainnya adalah himpunan penyelesaiannya berupa besaran sudut.
Penyelesaian persamaan trigonometri dilakukan dengan cara mencari nilai sudut yang belum diketahui nilainya sehingga persamaan itu bernilai benar untuk suatu daerah tertentu.
Adapun persamaan trigonometri sederhana terdiri dari persamaan pada sinus, cosinus, dan tangen.
Materi persamaan trigonometri yang sederhana akan dibatasi pada penyelesaian pada rentang 0 derajat sampai 360 derajat atau dapat dikatakan 2π.
Persamaan yang kerap ditemui biasanya adalah dalam bentuk dasar. Namun, terkadang ada persamaan trigonometri bentuk kuadrat yang mengharuskan untuk mengubah menjadi persamaan kuadrat.
Contoh sederhana dari persamaan ini antara lain:
sin (x) = 0
sin (x) = cos (x)
sin (x) = tan (x)
Tiga persamaan itu seperti yang dapat dilihat mengandung fungsi trigonometri.
Jenis Persamaan Trigonometri
-
Persamaan Sinus
Untuk dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan trigonometri, anda akan menemukan nilai sudut lebih dari satu. Hal tersebut bisa terjadi lantaran grafik trigonometri memuat nilai yang sama pada beberapa sudut.
Misalnya adalah y = sin x, untuk -360º ≤ x ≤ 360º. Dan berikut ini adalah gambaran dari persamaan tersebut:
Dari grafik di atas menjelaskan bahwa nilai x pada sin x = 1 ada dua, yakni -270 derajat dan 90 derajat. Sedangkan nilai utama dapat dilihat berada pada area garis biru, yaitu pada -90º ≤ x ≤ 90º.
Sedangkan nilai lainnya dapat ditentukan sesuai dengan gambar. Misalnya nilai x yang > 360º atau <360º maka rumus persamaan trigonometrinya adalah:
sin x = sin a
x = a + k . 360º
x = (180º – a) + k . 360º
Contoh soal persamaan trigonometri sinus:
Tentukanlah penyelesaian persamaan sin x = ½ √3 pada interval 0 ≤ x ≤ 360º
Jawab:
sin x = ½ √3
x1 = sin ( 180º / 3 + k . 360º )
x1 = 180º/3 + k. . 360º
untuk k = 0 ⇒ x1 = 180º / 3 = 60º
x2 = sin ( 180º – 180º/3 + k . 360º)
x2 = 360º / 3 + . 360º
untuk k = 0 ⇒ x2 = 360º / 3 = 120º
Maka himpunan penyelesaiannya adalah { 60º , 120º}
-
Persamaan Cosinus
Persamaan dapat dilihat berdasarkan grafik di bawah ini:
Nilai utama dapat dilihat pada garis biru dari grafik tersebut, letak tepatnya adalah pada interval 0º ≤ x ≤ 180º. Sedangkan untuk nilai cosinus lain dapat dilihat pada grafik di atas.
Untuk mengetahui nilai x ≥ 360º atau x ≤ 360º dapat dilihat dari persamaan berikut ini:
cos x = cos a
x = ± a + k . 360º
Contoh soal persamaan trigonometri cosinus:
Tentukanlah penyelesaian dari persamaan cos x = 1 / √2 pada interval -120º ≤ x ≤ 450º
Jawab:
cos x = 1 / √2 . √2 / √2 = ½ √2
cos x = cos 45º
Artinya:
x = 45º + k . 360º
Untuk x = ± 45º + k . 360º berarti
k = 0 → x = 45º + (0) . 360º = 45º
k = 1 → x = 45º + (1) . 360º = 405º
k = 2 → x = 45º + (2) . 360º = 765º (tidak memenuhi syarat untuk -120º ≤ x ≤ 450º)
k = -1 → x = 45º + (-1) . 360º = -315º (tidak memenuhi syarat untuk -120º ≤ x ≤ 450º)
Sedangkan untuk x = -45º + 360º
k = 0 → x = – 45º + (0) . 360º = – 45º
k = 1 → x = – 45º + (1) . 360º = – 315º
k = 2 → x = – 45º + (2) . 360º = – 675º (tidak memenuhi syarat untuk -120º ≤ x ≤ 450º)
k = -1 → x = – 45º + (-1) . 360º = – 405º (tidak memenuhi syarat untuk -120º ≤ x ≤ 450º)
Jadi penyelesaian dari persamaan cosinus tersebut adalah x = {-45º , 45º , 315º , 405º}.
-
Persamaan Tangen
Persamaan tangen sesuai dengan namanya adalah persamaan yang memuat fungsi tangen. Untuk penggambarannya, berikut adalah grafik y = tan x untuk -360º ≤ x ≤ 360º :
Nilai utama dari nilai tan x dapat dilihat pada garis yang berwarna biru yang letaknya berada pada interval -90º ≤ x ≤ 90º.
Dari grafik tersebut dapat dilihat bahwa nilai akan berulang pada x positif dan negatif. Sementara rumus untuk mencari nilai lainnya adalah:
tan x = tan a
x = a + k . 360º.
Keterangan:
k = konstanta bilangan bulat.
Contoh soal persamaan trigonometri tangen
Tentukanlah penyelesaian persamaan dari tan x = √3 pada interval 0 ≤ x ≤ 360º :
Jawab:
tan x = √3
x1 = tan (180º / 3 + k . 180º
x1 = 180 / 3 + k . 180º
Untuk k = 0 ⇒ x1 = 180º /3 = 60º
Untuk k = 1 ⇒ x2 = 720º /3 = 240º
Jadi penyelesaian dari persamaan tangen tersebut adalah x = {60º , 240º}.
Baca juga: Distribusi Peluang Binomial: Pengertian, Tabel, dan Contoh Soal
Manfaat Trigonometri untuk Kehidupan Sehari-hari
Meskipun terlihat rumit, tetapi sebenarnya trigonometri dimanfaatkan untuk kehidupan sehari-hari. Di antaranya adalah:
Pemanfaatan Untuk Ilmu Astronomi
Untuk teknologi, trigonometri digunakan untuk mengukur ukuran benda-benda di langit karena tidak mungkin benda langit dihitung dengan penggaris. Jadi solusinya adalah dengan memainkan skala dan sudut sehingga dapat mengestimasi ukuran secara akurat.
Pemanfaatan untuk Teknik Sipil
Salah satu bidang yang paling memanfaatkan trigonometri adalah teknik sipil. Di dalam ilmu teknik sipil, trigonometri digunakan untuk melakukan pengukuran tanah yang digunakan untuk berbagai macam tujuan. Misalnya ketika ingin membangun jembatan, membuat jalan raya, bendungan, dan lain sebagainya.
Trigonometri biasanya untuk menghitung kemiringan kondisi jalan agar dapat digunakan.
Pemanfaatan untuk Geografi
Tabel trigonometri telah ditemukan sejak dua ribu tahun yang lalu dan dimanfaatkan untuk ilmu geografi dan astronomi. Salah satu pemanfaatannya adalah digunakan untuk mengetahui posisi sebuah planet. Hal itu dapat diketahui dengan ilmu trigonometri yang dinamakan trigonometri bola.
Demikian pembahasan mengenai persamaan trigonometri beserta manfaatnya untuk kehidupan sehari-hari. Dalam penerapannya tentu dibutuhkan riset dan kerjasama yang baik antar personal saat belajar. Maka dari itu, di Sampoerna Academy diterapkan sistem STEAM (Science, Technology, Engineering, Arts, and Math) yang penting untuk mempersiapkan lulusan agar karier mereka di masa depan dan keperluan tenaga kerja nasional dan global yang membutuhkan persyaratan keterampilan yang tinggi.
Dengan pendekatan Project Based Learning (PBL), sebuah pendekatan instruksional konstruktivis dimana siswa terlibat dalam penyelesaian masalah yang bermakna sesuai dengan minat pribadi mereka, serta dimana kolaborasi dan pembelajaran personal ditekankan.
Untuk informasi lebih lanjut terkait pendaftaran, kurikulum, kunjungan, dan informasi seputar Sampoerna Academy silakan mengisi data di bawah ini.
Referensi