Dalam pembahasan matematika khususnya statistika dan teori probabilitas, ada yang namanya distribusi peluang binomial. Distribusi binomial adalah salah satu pembahasan yang sering kali muncul dan kadang membingungkan, meskipun aslinya sederhana.
Apa arti dari distribusi binomial dan bagaimana contohnya?
Berikut ini adalah materi distribusi peluang binomial kelas 12 yang biasanya juga keluar dalam ujian akhir maupun ujian masuk perguruan tinggi.
Apa Itu Distribusi Bernoulli?
Sebelum masuk ke pembahasan distribusi binomial, kita terlebih dahulu harus membahas tentang distribusi bernoulli yang juga sangat berhubungan dengan distribusi binomial. Dalam matematika, nama distribusi bernoulli diambil dari nama matematikawan asal Swiss, Jacob Bernoulli.
Distribusi bernoulli ini adalah percobaan acak yang hanya memiliki dua keluaran. Dua keluaran ini tak bisa terjadi secara bersamaan dan total peluang dari dua keluaran ini adalah satu. Contoh dari distribusi bernoulli adalah peluang saat melempar koin, jika tak mendapatkan hasil angka, akan dapat hasil gambar, hanya dua hasil itu dan tak bisa didapatkan bersamaan.
Artinya,
P(sukses) + P(gagal) = 1
atau
P(gagal) = 1 – P(sukses)
P(sukses) = 1 – P(gagal)
Dari hal ini, jika P(sukse) kita sebut saja dengan p, sebaran atau distribusi bernoulli bisa ditulis menjadi:
f(x) = p, ketika x = 1
f(x) = 1 – p, ketika x = 0
Biasanya, distribusi bernoulli ditulis menjadi rumus:
Hal ini kemudian bisa dibuktikan dengan memasukkan angka ke dalam x,
- f(0) = p0(1-p)1-0 = 1 – p
- f(1) = p1(1-p)1-1 = p
Misal, ada soal seperti ini:
Seorang guru memberikan Ani 1 soal bonus, peluangnya menjawab soal ini dengan benar adalah p, berapa peluang Ani gagal menjawab soal tersebut?
Soal ini bisa diselesaikan dengan rumus f(x) = 1 – p, ketika x = 0.
Karena peluangnya tak 0, maka peluang Ani gagal menjawab soal tersebut adalah 1 – p.
Baca juga: Notasi Ilmiah: Pengertian, Tujuan, Rumus, hingga Contoh Soal!
Apa Itu Distribusi Binomial?
Setelah membahas distribusi bernoulli, mari masuk ke dalam pembahasan distribusi peluang binomial. Dari pembahasan sebelumnya, distribusi bernoulli sebenarnya adalah distribusi binomial ketika n = 1.
Jika n atau jumlah percobaan lebih dari sekali, maka hal tersebut menjadi distribusi binomial.
Artinya, distribusi binomial merupakan distribusi probabilitas diskrit jumlah keberhasilan dalam n percobaan yang memiliki dua hasil yang tak saling berkaitan, dengan setiap percobaan punya probabilitas p.
Dari sini, kita bisa menarik kesimpulan beberapa syarat terjadinya distribusi binomial:
- Ada n kali percobaan.
- Hanya ada dua kemungkinan dalam setiap percobaan, ya atau tidak, sukses atau gagal, dan sebagainya.
- Peluang percobaan harus sama setiap kali dilakukan, tak bisa berubah.
- Tak saling berkaitan atau independen antara satu peristiwa dalam percobaan itu dengan peristiwa lainnya.
Empat hal ini harus dipenuhi untuk bisa disebut sebagai distribusi peluang binomial. Misalnya sampel misal tak saling bebas, ada pengambilan sampel tanpa dikembalikan misalnya, maka ini bukan distribusi binomial, tetapi distribusi hipergeometrik.
Semakin besar jumlah populasi dibandingkan jumlah sampel, distribusi binomial merupakan pendekatan yang lebih baik dan lebih banyak digunakan.
Dengan simulasi, didapatkan bukti bahwa semakin besar sampel, maka hasil yang didapatkan akan semakin mendekati distribusi normal.
Hal itu terlihat dari tabel distribusi peluang binomial berikut ini:
Soal distribusi peluang binomial ini, kerap terjadi kesalahan, terutama soal banyaknya kemungkinan yang terjadi dalam percobaan.
Misal, ada percobaan dengan melempar koin sebanyak n kali. Ini merupakan percobaan binomial, karena hanya ada dua hasil dalam pelemparan koin, angka atau gambar.
Sedangkan percobaan serupa, tetapi menggunakan dadu bukan merupakan distribusi binomial. Hal ini karena ada enam hasil pelemparan dadu, angka 1 sampai 6 dengan probabilitas masing-masing 1/6. Artinya ada lebih dari dua hasil yang mungkin terjadi.
Hal ini berbeda jika dalam percobaan dadu tersebut hanya diambil satu angka saja. Misal peluang muncul angka 4 dan bukan angka 4, jadi hanya ada dua hasil, dengan peluang terjadi 1/6 untuk angka 4 dan 5/6 untuk bukan angka empat, ini masih termasuk dalam distribusi binomial.
Dari penjelasan di atas, dapat diperoleh rumus distribusi binomial seperti berikut:
Distribusi binomial ini merupakan basis untuk tes binomial yang populer dalam signifikansi statistik. Tes binomial ini adalah tes deviasi dari distribusi yang mungkin secara teori dengan observasi terhadap dua kategori menggunakan data sederhana.
Setelah mendapat penjelasan ini, mari kita bahas contoh soal distribusi peluang binomial.
Contoh Soal Distribusi Peluang Binomial
Berikut ini adalah beberapa contoh soal distribusi binomial yang kerap ditemui dalam ujian akhir maupun ujian masuk perguruan tinggi.
- Ada 10 dadu yang dilempar sekaligus, berapa probabilitas muncul dadu dengan angka 6 sebanyak 3 buah dadu?
Jawaban:
Dalam hal ini, misal X merupakan variabel acak yang menunjukkan jumlah dadu dengan muka angka 6, maka:
x = 3
n = 10 (jumlah dadu)
p = 1/6 (peluang muncul angka 6)
1 = 5/6 (peluang muncul bukan angka 6)
Jadi, didapatkan dari perhitungan tersebut bahwa peluang probabilitas muncul dadu angka 6 sebanyak 3 dadu adalah 0,155.
- Ada koin yang tidak biasa, saat dilempar kemungkinan muncul gambar hanya 0,3 saja. Berapa peluang kita mendapatkan 4 kali gambar dalam 6 kali pelemparan?
Jawaban:
Dalam soal ini, misal X merupakan variabel acak yang menunjukkan jumlah koin dengan 4 kali gambar, maka
x = 4
n = 6 (jumlah pelemparan)
p = 0,3 (peluang gambar)
q = 0,7 (peluang angka)
Jadi, dari jawaban di atas didapatkan bahwa peluang mendapatkan 4 kali gambar dalam 6 pelemparan adalah 0,059535.
- Sebuah koin biasa dilempar 5 kali, berapa peluang mendapat sisi angka sebanyak 3 kali?
Jawaban:
Dalam hal ini, misal X merupakan variabel acak yang menunjukkan hasil muncul angka 3 kali,
x = 3
n = 5 (jumlah pelemparan)
p = 0,5 (peluang muncul angka)
q = 0,5 (peluang muncul gambar)
Jadi, peluang muncul angka sebanyak 3 kali dalam pelemparan adalah 10/32 atau 0,3125.
Pembahasan di atas merupakan pengertian, sifat-sifat, rumus, dan contoh soal tentang distribusi peluang binomial. Dengan metode pengajaran 21st Century Learning, Sampoerna Academy mendidik siswanya untuk ksplorasi, kolaborasi, kreativitas, serta penerapan pengetahuan dan keterampilan. Selain itu, siswa belajar tentang tanggung jawab pribadi dan pengembangan keterampilan interpersonal.
Untuk informasi lebih lanjut terkait pendaftaran, kurikulum, kunjungan, dan informasi seputar Sampoerna Academy silakan mengisi data di bawah ini.
[formidable id=7]
Referensi
Wikipedia
